PROBLEMA DE LA QUINCENA Nº 4 (3º Y 4º ESO)

PROBLEMA 4: NÚMEROS CURIOSOS

"Ciertas propiedades relativas a los números enteros reciben denominaciones curiosas, que muchas veces sorprenden”.

1) Veamos el caso de los llamados números narcisistas.

Consideremos, por ejemplo, el número 153.

Si hacemos la suma de los cubos de sus cifras, obtenemos el mismo número: 13+53+33=1+125+27=153.

Lo mismo ocurre con 370."

¿Eres capaz de encontrar otros dos números narcisistas, menores que 500?

¿Cuántos números narcisistas crees que existen?

2) El número 12345679 en el cual figuran, en orden creciente, todos los números significativos con excepción del 8, tiene unas propiedades curiosas.

Si multiplicamos este número por múltiplos de 9, obtenemos lo siguiente:

• 12345679 • 9 = 111111111

• 12345679 • 18 = 222222222

• 12345679 • 27 = 333333333

• 12345679 • 36 = 444444444

Es decir el resultado tiene nueve dígitos iguales. ¿Por qué? Piensa un poco.

3) Veamos ahora el caso de los llamados números amigos.

Consideremos, por ejemplo, los números 220 y 284.

Divisores de 220, menores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.

Divisores de 284, menores de 284: 1, 2, 4, 71 y 142.

Entre estos dos números, existe una coincidencia realmente notable. Si sumamos los divisores de 220 indicados arriba, obtenemos una suma igual a 284; si sumamos los divisores de 284, el resultado es igual a 220. Por eso dicen los matemáticos, que esos dos números son amigos.

Encuentra al menos 5 parejas de números amigos.

Curiosidad: El número 6 podríamos llamarlo número egoísta, ya que es amigo de sí mismo, porque sus divisores menores que él son 1, 2 y 3, cuya suma es 6.

SOLUCIÓN:

1) Números narcisistas:
 .
3³+7³+1³=371

4³+0³+7³=407

2) Si al número 123456790 le restamos el número 12345679
obtenemos: 111111111, que es en realidad 12345679 x (10 - 1) = 12345679 x 9; el resto de productos no son más que multiplicar éste por 2, 3 y así sucesivamente.

3) Números amigos:

 Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas

         Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

p = 3 × 2n-1 - 1,

q = 3 × 2n - 1,

r = 9 × 22n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2npq y 2nr son un par de números amigos.

        Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.