Las Matemáticas, además de útiles, son divertidas.













LAS MATEMÁTICAS , ADEMÁS DE ÚTILES, SON DIVERTIDAS:




Una vaca está atada en un punto de la fachada de una construcción circular de radio "r" rodeada de hierba y con una longitud de cuerda igual a la mitad del perímetro de dicha construcción. ¿Podrás expresar, en función del radio, la superficie de hierba que podrá comer?



sábado, 2 de abril de 2011

LA ESTRELLA PITAGÓRICA (SOLUCIÓN)

         Este problemilla es un pequeño homenaje al número áureo, de oro o mágico y al estudio de figuras semejantes:

         Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos.
         1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono regular, se cumplen las siguientes relaciones:
los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado, están relacionados por el número aúreo  Ф, siendo Ф =  ( 1 + √5 ) / 2 = 1.618033989 aproximadamente, ya que es un número irracional de infinitas cifras decimales que no se repiten. 
                        Rojo/Azul = Ф, Azul/Verde = Ф, Verde/Morado = Ф

         2) La relación entre el lado de la estrella pitagórica y del pentágono
                                              es también b / a =  Ф.

           3) El área de un triángulo es:

                       A = b.h / 2

           4) El área de un pentágono regular en función de su lado es:                           
                    (véase Polígono Regular en Wikipedia, la enciclopedia libre)
            A =  ( 5L2 / 4 ) . ( tan (3π / 10)) = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º)
           
           5) Con estas relaciones, viendo que las figuras coloreadas de la misma forma son semejantes y paciencia podemos calcular las distintas áreas.

        lado del pentágono verde =  5 / Ф3
        lado del pentágono azul claro = 5 / Ф4      
        lado del pentágono fucsia  = 5 / Ф5  
        lado mayor del triángulo rojo 5 / Ф2
        lado mayor del triángulo verde oscuro 5 / Ф2     
        lado mayor del triángulo azul oscuro = 5 / Ф3
        lado del triángulo amarilllo = 5 / Ф4
            Así, pues las distintas áreas son:
             Área del pentágono  verde   
 
           A  = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф6) . ( tan 27º) 
      Área del pentágono azul claro  
      A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф8) . ( tan 27º)
        Área del pentágono fucsia              
     A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф10) . ( tan 27º)
     Área roja = 5. área del triángulo rojo 
        A =5.b.h / 2 = 5.( 5 / Ф3 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф3 = 125 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф6
       Área verde oscura = 10. área del triángulo verde oscuro 
       A =  10. ( 5 / Ф2 ). 5 √( 4Ф – 1 ) / 2Ф2 =125 . √ ( 4Ф – 1 ) /  Ф4  
       Área azul oscura = 25 . área del triángulo azul oscuro         
       A = 5 . ( 5 / Ф4 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф4 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф8
       Área amarilla = 25. área del triángulo amarillo 
       A = 25 . ( 5 / Ф5 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф5 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф10

            Para un estudio más detallado de la presencia del número de oro, áureo o mágico, en nuestra vida os recomiendo la siguiente página:
         http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/actividades/conferencias/conferencias/11.Numero%20de%20oro.pdf

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