Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos.
1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono regular, se cumplen las siguientes relaciones:
los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado, están relacionados por el número aúreo Ф, siendo Ф = ( 1 + √5 ) / 2 = 1.618033989 aproximadamente, ya que es un número irracional de infinitas cifras decimales que no se repiten.
Rojo/Azul = Ф, Azul/Verde = Ф, Verde/Morado = Ф
2) La relación entre el lado de la estrella pitagórica y del pentágono
es también b / a = Ф.
3) El área de un triángulo es:
A = b.h / 2
4) El área de un pentágono regular en función de su lado es:
(véase Polígono Regular en Wikipedia, la enciclopedia libre)
5) Con estas relaciones, viendo que las figuras coloreadas de la misma forma son semejantes y paciencia podemos calcular las distintas áreas. A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan (3π / 10)) = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º)
lado del pentágono verde = 5 / Ф3
lado del pentágono azul claro = 5 / Ф4
lado del pentágono fucsia = 5 / Ф5
lado mayor del triángulo rojo = 5 / Ф2
lado mayor del triángulo verde oscuro = 5 / Ф2
lado mayor del triángulo azul oscuro = 5 / Ф3
lado del triángulo amarilllo = 5 / Ф4
Así, pues las distintas áreas son:Área del pentágono verde
A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф6) . ( tan 27º)
Área del pentágono azul claro
A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф8) . ( tan 27º)
Área del pentágono fucsia
A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф10) . ( tan 27º)
Área roja = 5. área del triángulo rojo
A =5.b.h / 2 = 5.( 5 / Ф3 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф3 = 125 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф6
Área verde oscura = 10. área del triángulo verde oscuro
A = 10. ( 5 / Ф2 ). 5 √( 4Ф – 1 ) / 2Ф2 =125 . √ ( 4Ф – 1 ) / Ф4
Área azul oscura = 25 . área del triángulo azul oscuro
A = 5 . ( 5 / Ф4 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф4 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф8
Área amarilla = 25. área del triángulo amarillo A = 25 . ( 5 / Ф5 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф5 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф10
Para un estudio más detallado de la presencia del número de oro, áureo o mágico, en nuestra vida os recomiendo la siguiente página:
http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/actividades/conferencias/conferencias/11.Numero%20de%20oro.pdf
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