PROBLEMA DE LA QUINCENA Nº 4 (3º Y 4º ESO)

PROBLEMA 4: NÚMEROS CURIOSOS

"Ciertas propiedades relativas a los números enteros reciben denominaciones curiosas, que muchas veces sorprenden”.

1) Veamos el caso de los llamados números narcisistas.

Consideremos, por ejemplo, el número 153.

Si hacemos la suma de los cubos de sus cifras, obtenemos el mismo número: 13+53+33=1+125+27=153.

Lo mismo ocurre con 370."

¿Eres capaz de encontrar otros dos números narcisistas, menores que 500?

¿Cuántos números narcisistas crees que existen?

2) El número 12345679 en el cual figuran, en orden creciente, todos los números significativos con excepción del 8, tiene unas propiedades curiosas.

Si multiplicamos este número por múltiplos de 9, obtenemos lo siguiente:

• 12345679 • 9 = 111111111

• 12345679 • 18 = 222222222

• 12345679 • 27 = 333333333

• 12345679 • 36 = 444444444

Es decir el resultado tiene nueve dígitos iguales. ¿Por qué? Piensa un poco.

3) Veamos ahora el caso de los llamados números amigos.

Consideremos, por ejemplo, los números 220 y 284.

Divisores de 220, menores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.

Divisores de 284, menores de 284: 1, 2, 4, 71 y 142.

Entre estos dos números, existe una coincidencia realmente notable. Si sumamos los divisores de 220 indicados arriba, obtenemos una suma igual a 284; si sumamos los divisores de 284, el resultado es igual a 220. Por eso dicen los matemáticos, que esos dos números son amigos.

Encuentra al menos 5 parejas de números amigos.

Curiosidad: El número 6 podríamos llamarlo número egoísta, ya que es amigo de sí mismo, porque sus divisores menores que él son 1, 2 y 3, cuya suma es 6.

SOLUCIÓN:

1) Números narcisistas:
 .
3³+7³+1³=371

4³+0³+7³=407

2) Si al número 123456790 le restamos el número 12345679
obtenemos: 111111111, que es en realidad 12345679 x (10 - 1) = 12345679 x 9; el resto de productos no son más que multiplicar éste por 2, 3 y así sucesivamente.

3) Números amigos:

 Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas

         Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

p = 3 × 2n-1 - 1,

q = 3 × 2n - 1,

r = 9 × 22n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2npq y 2nr son un par de números amigos.

        Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.

PROBLEMA DE LA QUINCENA DE MATEMÁTICAS Nº 3 (3º Y 4º ESO)

PROBLEMA 3:

1ª PARTE:

ÁREA DEL CUADRADITO. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

2ª PARTE:

LAS 4 CABRAS DEL PRADO. En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50 metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza.

El propietario, tras vender tres de las cabras, alargó la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el área sobre la que podía pastar era equivalente al área sobre la que pastaban anteriormente las cuatro. ¿Qué longitud le dió a la cuerda?

SOLUCIÓN:

     1ª PARTE: El area de la figura sombreada, es la quinta parte del área del cuadrado total, ya que las áreas no rayadas, si se van uniendo dos a dos forman un cuadradito igual. Por tanto el área rayada es de 20 centímetros cuadrados.

     2ª PARTE: Si aplicamos la fórmula del área del círculo, observamos que si el radio se dobla, el área queda mltiplicada por 4, por tanto, hemos de doblar el radio y la cuerda será de 100 metros.

PROBLEMA DE LA QUINCENA Nº 2 PARA LOS ALUMNOS DE 3º Y 4º DE ESO.

PROBLEMA 2:

    ¿Cuántos cuadrados diferentes podemos contar en un tablero de ajedrez?

SOLUCIÓN:
    Hay 64 cuadrados de 1 cuadrado de lado ( 8 x 8):
           49 cuadrados de 2 cuadrados de lado (7 x 7):
           36 de 3 cuadrados de lado: (6 x 6):
           25 de 4 (5 x 5):
           16 de 7 (4 x 4):
            9 de 6 (3 x 3):
            4 de 7 (2 x 2):
            1 de 8; en total 204 cuadrados.

PROBLEMA DE LA QUINCENA Nº 1 (3º y 4º de ESO),

CURSO 2010-11

     Se trata de hallar las áreas de las distintas figuras en las que se divide este cuadrado de lado “l”, en función de dicho lado, sabiendo que las líneas están trazadas desde el punto medio de los lados.

SOLUCIÓN:

Las áreas de los triángulos formados por las figuras roja y verde (1 y 2), azul y marrón (5 y 6) y roja, amarilla y marrón (1, 3 y 5); son idénticas e iguales a la cuarta parte del cuadrado, es decir: l² / 4.

Por otra parte, el área formada por las figuras amarilla y rosa (3 y 4) es la de medio cuadrado, es decir: l² / 2.

El triángulo verde (2) tiene una altura de l / 3, y una base de l / 2, por tanto su área será:

Área triángulo verde (2) = (l / 3.l / 2) / 2 = l² / 12, y la figura roja será por tanto:

Área cuadrilátero rojo (1)  = l² / 4 - l² / 12 = l² / 6.

El triángulo azul (6) es semejante al triángulo formado por las figuras marrón (5) y azul /(6), siendo la razón de semejanza = hipotenusa 5 y 6  / hipotenusa 6 =

(2. l / √5) / l, es decir, 2 / √5, por lo que las áreas respectivas estarán en la proporción: 4//5 y así, el área de la figura azul será:

Área triángulo azul  6) = ( l² / 4) . (4 / 5) = l² / 5.

El área del triángulo marrón (5), será:

Área triángulo marrón (5) = l² / 4 - l² / 5 = l² / 20.

El área del triángulo amarillo (3), la podemos obtener como resta de la cuarta parte del cuadrado, menos las áreas del cuadrilátero rojo (1) y el triángulo marrón (5), es decir:

Área triángulo amarillo (3) =  l² / 4 - l² / 6 - l² / 20 = l² / 30

Para finalizar, el área del cuadrilátero rosa (4), la obtendremos como la resta de medio cuadrado y el triángulo amarillo (3), es decir:

Área cuadrilátero rosa (4) = l² / 2. - l² / 30 = 7 l² / 15.

Naturalmente la suma de las siete áreas ha de dar l² , comprobémoslo:

 l² / 6 +  l² / 12 + l² / 30 + 7 l² / 15 + l² / 20 + l² / 5 = l²