PROBLEMAS
3º TRIMESTRE PARA LOS ALUMNOS DE 3º Y 4º DE ESO
(Se pueden presentar por separado)
1.- Un
reloj de dos colores
Se considera un reloj con sus
12 números en torno a una circunferencia: 1, 2, ..., 12. Se pintan de azul o
rojo cada uno de los 12 números de modo que haya seis pintados de azul y seis
de rojo. El problema consiste en demostrar, que, independientemente del orden
en que se hayan pintado, siempre existirá una posible recta que divida al reloj
por la mitad, dejando en cada lado seis números, tres pintados de rojo y tres
pintados de azul.
2.- Un
PAÍS de palillos
Presentamos dos juegos
y se trata de encontrar qué estrategia ganadora tienen, esto es, el
procedimiento para ganar siempre, por muy hábil que sea nuestro rival. La
estrategia puede ser del jugador que mueve primero o del segundo, eso también
hay que averiguarlo. Obviamente, si el primer jugador tiene estrategia
ganadora, no la tendrá el segundo. Para ambos juegos formamos la palabra PAIS
con palillos de la forma en que se ve la imagen de arriba..
Primer juego: Por turnos, cada
jugador retira uno, dos o tres palillos del dibujo. Gana el que retira el
último palillo, esto es, el que deja la mesa vacía.
Segundo juego: Por turnos, los
jugadores retiran el número que quieran de palillos pero siempre de la misma
letra cada vez (de la P, de la A, de la I o de la S). Gana también el que
retira el último palillo.
Se trata, como
decíamos de hallar la estrategia ganadora en ambos juegos (el modo de ganar
seguro) precisando si la tiene el jugador que abre el juego o el segundo.
3.-
Un cubo de suma cero
A cada uno de los
vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de
las caras el producto de los números de sus vértices.
¿Puede hacerse la
asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y
6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como
en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.
4.- ¡Todo
el mundo a su silla!
Se consideran 35
sillas colocadas en fila y en las que están sentadas 35 personas. En un momento
dado, las 35 personas se levantan y se vuelven a sentar donde estaban o en la
silla de al lado (derecha o izquierda). Observad que las esquinas sólo tienen
dos movimientos posibles en vez de tres. ¿De cuántas formas distintas pueden
sentarse la segunda vez las 35 personas en estas 35 sillas siguiendo esta
condición?
NOTA IMPORTANTE: No se trata de decir
de cuántas maneras se pueden sentar 35 personas en 35 sillas, sino de cuántas
maneras pueden volver a sentarse, con las reglas dadas, 35 personas que estaban
ya sentadas. Hay que tener en cuenta que ni al principio ni al final queda ninguna
silla vacía; es decir, cada silla está ocupada por una persona (y solo una).
, en donde p es el semiperímetro y a, b y c los lados del triángulo, es decir: a = 2, b = 3 y c= raiz cuadrada(17), y sustituyendo obtenemos , aprosimadamente, la siguiente área: A = 2,83 centímetros cuadrados, por lo que el área total es de: