Las Matemáticas, además de útiles, son divertidas.

























LAS MATEMÁTICAS , ADEMÁS DE ÚTILES, SON DIVERTIDAS:





TRABAJITO PARA ESTE VERANO:

"Serías capaz de hallar las áreas coloreadas de la estrella siguiente, insertada en una circunferencia de radio 10 cm?






jueves, 28 de abril de 2011

SOLUCIÓN AL PROBLEMILLA DE LA NIEVE PARA PASCUA

        Este problema, en apariencia sencillo, necesita de unos conocimientos matemáticos un poco avanzados para su resolución; en cualquier caso merece la pena intentarlo y, ahora, analizar su solución:
        Recordemos el encuciado:

       Un día empieza a nevar, y sigue nevando con regularidad. A medio día sale una máquina quitanieves y, en la 1ª hora recorre 2 Km y en la 2ª hora 1 Km. ¿A qué hora empezó a nevar?

       Pues, vamos a meterle mano:

       - Una máquina quitanieves desplaza un volumen de nieve por hora igual a C (m3/hora), barriendo una anchura L (m) de la carretera. Su velocidad al avanzar por la carretera varía, según la cantidad de nieve precipitada, para mantener C constante en el tiempo.
       - Nieva regularmante, de forma que la altura de nieve crece en la carretera a razón de υ (m/hora). Después de empezar a nevar, la máquina inicia la limpieza de la carretera en t = 0 (horas).
      Observemos en primer lugar que t = 0 es el instante en el que la máquina empieza a funcionar, por tanto la hora en la que empezó a nevar será t0 anterior.
      - Si h(t) es la altura de nieve en la carretera en el instante t y hi la altura de nieve inicial (cuando la máquina empieza a funcionar) teniendo en cuenta que nieva regularmente con constante υ tenemos:
                   h(t) = hi + υt.
      - Además como la máquina debe mantener el volumen de nieve quitado constante debe verificarse:
                   C = h(t) x'(t) L,
donde x(t) es la longitud de carretera limpiada por la máquina. Por tanto,
                  x'(t) = C / L (hi + υt),  es la ecuación diferencial que verifica x(t).
       - La condición inicial es x(0) = 0. Para resolver la ecuacióon basta integrar:
                  x(t) = C/L ∫ (dt / hi + υt ), entre 0 y t.
                  x/t) = (C/Lυ) ( ln(hi + υt ) − ln(hi ))   = w ln(1 +υt/hi)
donde w = C/Lυ
      - Sabemos que x(1) = 2 Km, y x(2) = 3 Km., si llamamos α = υ / hi ,  tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
               w ln(1 + α ) = 2
               w ln(1 + 2α ) = 3, que da lugar a:   3 ln(1 + α ) = 2  ln(1 + 2α )  y aplicando las propiedades de los logaritmos:   (1 + 2α ) =   (1 + α )3/2
       Elevando al cuadrado la igualdad obtenemos la siguiente ecuación:
                α3 – α2 – α = 0, que tiene las siguientes soluciones:  α = 0  ,  α =  (1 + √5) /2  y α =  (1 - √5) /2, de las que solamente tiene sentido  α =  (1 + √5) /2 .

      Teniendo en cuenta que la máquina quitanieves salió a las 12 horas, tenemos que:
               0 = h (t0 - 12) = hi + υ (t0 - 12);       hi = υ (12 - t0) = υ / α ;   por tanto,
              t0 = 12 - 2 / (1 + √5), es decir:     t0 = 11,38 horas , si lo pasamos a minutos y segundos, teniendo en cuenta que 1 hora = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos, obtenemos definitivamente:

          Empezó a nevar a las 11 horas 22 minutos 48 segundos.

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