PROBLEMA DE LA QUINCENA Nº 1 (3º y 4º de ESO),

CURSO 2010-11

     Se trata de hallar las áreas de las distintas figuras en las que se divide este cuadrado de lado “l”, en función de dicho lado, sabiendo que las líneas están trazadas desde el punto medio de los lados.

SOLUCIÓN:

Las áreas de los triángulos formados por las figuras roja y verde (1 y 2), azul y marrón (5 y 6) y roja, amarilla y marrón (1, 3 y 5); son idénticas e iguales a la cuarta parte del cuadrado, es decir: l² / 4.

Por otra parte, el área formada por las figuras amarilla y rosa (3 y 4) es la de medio cuadrado, es decir: l² / 2.

El triángulo verde (2) tiene una altura de l / 3, y una base de l / 2, por tanto su área será:

Área triángulo verde (2) = (l / 3.l / 2) / 2 = l² / 12, y la figura roja será por tanto:

Área cuadrilátero rojo (1)  = l² / 4 - l² / 12 = l² / 6.

El triángulo azul (6) es semejante al triángulo formado por las figuras marrón (5) y azul /(6), siendo la razón de semejanza = hipotenusa 5 y 6  / hipotenusa 6 =

(2. l / √5) / l, es decir, 2 / √5, por lo que las áreas respectivas estarán en la proporción: 4//5 y así, el área de la figura azul será:

Área triángulo azul  6) = ( l² / 4) . (4 / 5) = l² / 5.

El área del triángulo marrón (5), será:

Área triángulo marrón (5) = l² / 4 - l² / 5 = l² / 20.

El área del triángulo amarillo (3), la podemos obtener como resta de la cuarta parte del cuadrado, menos las áreas del cuadrilátero rojo (1) y el triángulo marrón (5), es decir:

Área triángulo amarillo (3) =  l² / 4 - l² / 6 - l² / 20 = l² / 30

Para finalizar, el área del cuadrilátero rosa (4), la obtendremos como la resta de medio cuadrado y el triángulo amarillo (3), es decir:

Área cuadrilátero rosa (4) = l² / 2. - l² / 30 = 7 l² / 15.

Naturalmente la suma de las siete áreas ha de dar l² , comprobémoslo:

 l² / 6 +  l² / 12 + l² / 30 + 7 l² / 15 + l² / 20 + l² / 5 = l²