ULTIMAS NOTAS PROBLEMA DE LA QUINCENA PARA LOS ALUMNOS DE 3º Y 4º ESO

        ALUMNO/A                                                P-6        P-7       P-8
Carlos Cervera      3º A                                       10          2
Miguel Lluesma     3º A                                        3
Daniel Bertomeu   4º A                                       10          8           7
María Estellés       4º A                                         8
Nuria Estellés       4º A                                         8
Myroslava H.        4º C                                        10        10        Fuera Plazo
Laura Palanca      4º C                                        10          1
Cristina López       4º C                                                                  7              

FELICIDADES A ALEJANDRO MARTOS

    Desde el Departamento de Matemáticas del IES Tierno Galván queremos felicitar a Alejandro Martos, hijo de nuestro compañero Juan A. Martos por su pase a la Final Nacional de la Olimpiada Matemática que tendrá lugar en Vigo; así como desearle suerte.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA Nº 8 Y FINAL PARA 3º Y 4º ESO

       En el siguiente diagrama de árbol están representados todos los posibles resultados de las partidas, partiendo de la base de que la ,primera partida la ha ganado el jugador A; de los cuales los sucesos (1), (2), (3), (5), (6) y (8) son favorables al jugador A y los sucesos (4), (7), (9) y (10) son favorables al jugador B.

1ªp.        2ªp.         3ªp.          4ª p.            5ªp.

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A ---------- A ----------- A                                               (1)

                              B -------------  A                            (2)

                                                B --------------- A         (3)

                                                                   B          (4)

               B ------------ A ------------- A                            (5)

                                                 B ----------------A        (6)

                                                                    B         (7)

                                B ------------- A -------------- A         (8)

                                                                    B         (9)

                                                 B                           (10) 

        Cabría pensar que, ya que el jugador A gana en 6 de los 10 casos y el jugador B en 4 de los seis casos, las probabilidades de ganar de ambos sean:

P (A) = 6/10 y P (B) = 4/10, pero esto es un error, ya que los sucesos del (1) al (10) no son equiprobables, sino que sus probabilidades son las siguientes:

P(1) = (1/2).(1/2) = 1/4

P(2) = (1/2).(1/2).(1/2) = 1/8

P(3) = (1/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/16

P(4) = P(3) = 1/16

P(5) = P(2) = 1/8

P(6) = P(7) = P(8) = P(9) = P(3) = 1/16

P(10) = P(2) = 1/8; por tanto:

P (A) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) + P(6) + P(8) = 11/16, y

P (B) = P(4) + P(7) + P(9) + P(10) = 5/16.

      Como la apuesta era de 80 €, disponen de 160 € para repartir en las proporciones de 11/16 para el jugador A y de 5/16 para el jugador B; así pues:

      Jugador A = 110 € y Jugador B = 50 €

SOLUCIÓN AL PROBLEMA Nº 7 DE LA QUINCENA PARA 3º Y 4º DE ESO

         1) En el caso de la vaca atada en el centro de un lado de una casa de planta cuadrada de lado 5 metros y con una cuerda de 10 metros, la superficie total de hierba que puede comer será, según el dibujo que figura a continuación:

un semicírculo de radio 10 metros, más un semicírculo de radio 7,5 metros, más un semicírculo de radio 2,5 metros.

       2) En el caso de la vaca atada al punto medio del lado de una casa de planta hexagonal de lado 2,5 metros y también con una cuerda que mide 10 metros, la superficie total de cuerda que puede comer será, según el dibujo que figura a continuación:

un semicírculo de radio 10 metros, más la tercera parte de un círculo de radio 8,75 m, más la tercera parte de un círculo de radio 6,25 metros, más un triángulo isósceles de lados iguales3,75 m y base 2,5 m.

         Conocidas las áreas del círculo y del triángulo, se calculan y se obtienen los siguientes resultados:

         1) 255,25 metros cuadrados.

         2) 282,6 metros cuadrados.

PROBLEMA Nº 8 Y FINAL DE LA QUINCENA PARA LOS ALUMNOS DE 3º Y 4ºESO

         Un problema de probabilidad, conocido como el problema del caballlero De Mére:

         "Dos jugadores A y B empiezan un juego en el que el ganador será aquel que primero gane 3 partidas. Se considera que la probabilidad de ganar de ambos es del 50 %.

         Cuando acaba la primera partida, que ha ganado el jugador A, y por razones ajenas a ambos jugadores, no pueden seguir jugando.

         Si los jugadores han apostado cada uno 80 Euros, ¿cómo han de repartirse el dinero?"

        (La solución a partir del 30 de Mayo)

DISEÑO DEL TAPÓN QUE TAPONE LOS TRES AGUJEROS

El tapón que hace falta en este caso, existe. Tiene la forma que se ve en la figura. Es fácil comprobar que un tapón así puede tapar el agujero cuadrado, el triangular y el redondo.

SOLUCIÓN AL PROBLEMILLA DE LA NIEVE PARA PASCUA

        Este problema, en apariencia sencillo, necesita de unos conocimientos matemáticos un poco avanzados para su resolución; en cualquier caso merece la pena intentarlo y, ahora, analizar su solución:

        Recordemos el encuciado:

       Un día empieza a nevar, y sigue nevando con regularidad. A medio día sale una máquina quitanieves y, en la 1ª hora recorre 2 Km y en la 2ª hora 1 Km. ¿A qué hora empezó a nevar?

       Pues, vamos a meterle mano:

       - Una máquina quitanieves desplaza un volumen de nieve por hora igual a C (m³/hora), barriendo una anchura L (m) de la carretera. Su velocidad al avanzar por la carretera varía, según la cantidad de nieve precipitada, para mantener C constante en el tiempo.

       - Nieva regularmante, de forma que la altura de nieve crece en la carretera a razón de υ (m/hora). Después de empezar a nevar, la máquina inicia la limpieza de la carretera en t = 0 (horas).

      Observemos en primer lugar que t = 0 es el instante en el que la máquina empieza a funcionar, por tanto la hora en la que empezó a nevar será t₀ anterior.

      - Si h(t) es la altura de nieve en la carretera en el instante t y h_i la altura de nieve inicial (cuando la máquina empieza a funcionar) teniendo en cuenta que nieva regularmente con constante υ tenemos:

                   h(t) = h_i + υt.

      - Además como la máquina debe mantener el volumen de nieve quitado constante debe verificarse:

                   C = h(t) x'(t) L,

donde x(t) es la longitud de carretera limpiada por la máquina. Por tanto,

                  x'(t) = C / L (h_i + υt),  es la ecuación diferencial que verifica x(t).

       - La condición inicial es x(0) = 0. Para resolver la ecuacióon basta integrar:

                  x(t) = C/L ∫ (dt / h_i + υt ), entre 0 y t.

                  x/t) = (C/Lυ) ( ln(h_i + υt ) − ln(h_i ))   = w ln(1 +υt/h_i)

donde w = C/Lυ

      - Sabemos que x(1) = 2 Km, y x(2) = 3 Km., si llamamos α = υ / h_i ,  tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

               w ln(1 + α ) = 2

               w ln(1 + 2α ) = 3, que da lugar a:   3 ln(1 + α ) = 2  ln(1 + 2α )  y aplicando las propiedades de los logaritmos:   (1 + 2α ) =   (1 + α )^3/2

       Elevando al cuadrado la igualdad obtenemos la siguiente ecuación:

                α³ – α² – α = 0, que tiene las siguientes soluciones:  α = 0  ,  α =  (1 + √5) /2  y α =  (1 - √5) /2, de las que solamente tiene sentido  α =  (1 + √5) /2 .

      Teniendo en cuenta que la máquina quitanieves salió a las 12 horas, tenemos que:

               0 = h (t₀ - 12) = h_i + υ (t₀ - 12);       h_i = υ (12 - t₀) = υ / α ;   por tanto,

              t₀ = 12 - 2 / (1 + √5), es decir:     t₀ = 11,38 horas , si lo pasamos a minutos y segundos, teniendo en cuenta que 1 hora = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos, obtenemos definitivamente:

          Empezó a nevar a las 11 horas 22 minutos 48 segundos.