Este problema, en apariencia sencillo, necesita de unos conocimientos matemáticos un poco avanzados para su resolución; en cualquier caso merece la pena intentarlo y, ahora, analizar su solución:
Recordemos el encuciado:
Un día empieza a nevar, y sigue nevando con regularidad. A medio día sale una máquina quitanieves y, en la 1ª hora recorre 2 Km y en la 2ª hora 1 Km. ¿A qué hora empezó a nevar?
Pues, vamos a meterle mano:
- Una máquina quitanieves desplaza un volumen de nieve por hora igual a C (m3/hora), barriendo una anchura L (m) de la carretera. Su velocidad al avanzar por la carretera varía, según la cantidad de nieve precipitada, para mantener C constante en el tiempo.
- Nieva regularmante, de forma que la altura de nieve crece en la carretera a razón de υ (m/hora). Después de empezar a nevar, la máquina inicia la limpieza de la carretera en t = 0 (horas).
Observemos en primer lugar que t = 0 es el instante en el que la máquina empieza a funcionar, por tanto la hora en la que empezó a nevar será t0 anterior.
- Si h(t) es la altura de nieve en la carretera en el instante t y hi la altura de nieve inicial (cuando la máquina empieza a funcionar) teniendo en cuenta que nieva regularmente con constante υ tenemos:
h(t) = hi + υt.
- Además como la máquina debe mantener el volumen de nieve quitado constante debe verificarse:
C = h(t) x'(t) L,
donde x(t) es la longitud de carretera limpiada por la máquina. Por tanto,
x'(t) = C / L (hi + υt), es la ecuación diferencial que verifica x(t).
- La condición inicial es x(0) = 0. Para resolver la ecuacióon basta integrar:
x(t) = C/L ∫ (dt / hi + υt ), entre 0 y t.
x/t) = (C/Lυ) ( ln(hi + υt ) − ln(hi )) = w ln(1 +υt/hi)
donde w = C/Lυ
- Sabemos que x(1) = 2 Km, y x(2) = 3 Km., si llamamos α = υ / hi , tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
w ln(1 + α ) = 2
w ln(1 + 2α ) = 3, que da lugar a: 3 ln(1 + α ) = 2 ln(1 + 2α ) y aplicando las propiedades de los logaritmos: (1 + 2α ) = (1 + α )3/2
Elevando al cuadrado la igualdad obtenemos la siguiente ecuación:
α3 – α2 – α = 0, que tiene las siguientes soluciones: α = 0 , α = (1 + √5) /2 y α = (1 - √5) /2, de las que solamente tiene sentido α = (1 + √5) /2 .
Teniendo en cuenta que la máquina quitanieves salió a las 12 horas, tenemos que:
0 = h (t0 - 12) = hi + υ (t0 - 12); hi = υ (12 - t0) = υ / α ; por tanto,
t0 = 12 - 2 / (1 + √5), es decir: t0 = 11,38 horas , si lo pasamos a minutos y segundos, teniendo en cuenta que 1 hora = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos, obtenemos definitivamente:
Empezó a nevar a las 11 horas 22 minutos 48 segundos.
